价差条件下的外汇市场矩阵套利理论研究
第1章 绪论
1.1研究背景
全球外汇市场是全球最大的金融市场，交易量十分巨大。1998 年全球平均每天的外汇交易量是 1.7 万亿美元，2021 年日均交易量已经快速增加到 4 万亿美元[1]。虽然受到全球宏观经济不景气的影响，全球外汇市场交易量仍然不断上升，2021 年日均交易量已经达到 5.3 万亿美元[2]。巨大的外汇市场交易量，为无风险套利提供了广阔的空间。套利，是指投资者利用相同资产、类似资产或者具有相同现金流的资产在不同市场或者相同市场的价差获得利润的交易行为。通常，套利行为包括两次同时进行的交易行为：买入被低估的资产和卖出被高估的资产。从理论上讲，所有的套利行为都是无风险的交易行为。按照套利涉及的市场种类或者套利来源，可以将外汇市场套利分为两类：一是即期市场套利，不同即期市场上的同种货币存在价差产生的套利机会，包括两点套利、三点套利以及多点套利；二是跨市场套利，由于利息率、即期外汇价格、远期外汇价格三者的关系偏离抛补利率平价（Covered Interest Parity）产生的套利机会，又称抛补利率套利(Covered Interest Arbitrage)。两点套利，通常涉及两种货币、一个货币对、两个外汇市场，是利用汇率在不同市场报价的差别进行套利。由于极易被发现，现实中这种套利机会一般并不存在。三点套利，通常涉及到三种货币、三个货币对、三个外汇市场，是利用不同市场对不同货币对的报价差异获利，因此三点套利又被称为空间套利;[3]。抛补利率套利，通常涉及两种货币、一个货币对、两个外汇市场、两个利率市场，这种套利利用外汇市场或者利率市场价格，对利率平价的偏离获利。此外，理论上还存在远期市场的多点套利机会，这种套利机会的存在决定于即期市场的套利机会和无抛补利率套利机会的存在。一般来说，只有即期市场的多点套利和无抛补利率套利机会同时不存在，远期市场才不存在多点套利机会，这类套利交易实际上是利用市场对远期定价原理的偏离获利[4]。
1.2研究现状
外汇市场套利研究可以大体分为抛补利率套利研究和即期市场套利研究。从目前获得的文献来看，学术界对于抛补利率套利的研究较多。究其原因，一方面是由于利率平价作为国际金融领域的基础理论，其是否得到外汇市场数据的实证支持，至关重要；另一方面，由于各国利率政策、交易成本、政策风险、资本流动等因素都可能导致抛补利率套利机会的产生，可探讨的领域较多。相比之下，即期外汇市场的套利问题的研究进展缓慢。Chacholiades 发表《The sufficiency of three-point arbitrage to insure consistent crossrates of exchange》一文，证明了一系列重要结论，并成为即期外汇市场套利的标准理论[16, 17]。其中对于即期外汇市场套利的一个重要结论是：如果在全球外汇市场不存在三点套利机会，则任何多点套利机会均不存在。此后对于即期外汇市场套利的研究，主要集中于如何引入数学工具和信息技术手段识别三点套利机会或者多点套利机会。Aliba 等通过对三种货币汇率值乘积分布特征的分析，建立了一种识别三点套利机会可行方法[12]。还有一些对于即期市场外汇套利的少数研究，主要是利用信息技术与计算机编程技术来识别外汇市场套利机会并进一步提出套利策略[18, 19]。目前，即期市场套利机会的识别是建立在对三点套利机会的识别基础上，随着可交换货币的不断增加，如果要识别整个市场存在的无风险套利机会，最多将讨论3nC 种情形。缺乏识别多点套利机会的理论方法。大大降低了套利实践中识别无风险套利机会的识别效率。马明从金平价思想、货币价值的一价定律出发，构造了全球无套汇基准汇率矩阵，建立了一套利用汇率矩阵数学特征识别套利机会，并提出矩阵套利策略的理论方法[20]。相比于三点套利理论，矩阵套利理论的最大优势是能够快速识别市场套利机会并锁定估值错误的货币。矩阵套利理论与 Chacholiades 的结论存在内在的统一性，进步之处在于进一步回答，随着外汇矩阵阶数的增广，如何快速准确地识别三点套利机会和多点套利机会，并建立可行而有效的套利策略。
..
第2章 外汇市场矩阵套利理论
2.1 汇率矩阵与无套利条件
在相同时刻，选取全球数个外汇市场的数种货币可以构造出一个外汇市场，并以汇率矩阵的形式表示。早在 1971 年，Chacholiades 就开始利用汇率矩阵研究多市场多货币情形下的套利问题[16]。一个典型的汇率矩阵，可以通过表 2.1 表示：汇率矩阵的元素不仅可以表示一种货币在不同市场的报价，还可以表示一种货币在相同市场不同做市商的报价。也就是说，在利用矩阵套利理论识别套利机会、选择套利策略的同时，投资者可以自由地构造汇率矩阵，这些汇率数据可以是来自不同市场的报价，也可以是来自不同做市商的报价。在本文中，为了讨论的便利性，认为汇率矩阵的元素来自不同市场的同一时刻的报价。将表 2.1 所示汇率矩阵可以改为汇率矩阵 A：即期外汇市场无套利的条件正是市场不存在任何三点套利机会，从无套利条件出发，传统的套利识别方法正是通过发现那些不满足套利条件的汇率组合来识别无风险套利机会。
..
2.2 矩阵套利理论的识别方法
对于传统的套利识别方法而言，要确定一个汇率矩阵是否存在套利机会，就需要计算3nC 个汇率组合是否满足三点无套利条件。而矩阵套利理论则是着眼于汇率矩阵整体的数学特性，提高了无风险套利机会识别的效率。矩阵套利理论认为，在理论上要使一个汇率矩阵不存在无风险套利机会，汇率矩阵中的货币必须满足严格的金平价假设，即汇率是由不同货币的含金量的比值确定的。无套汇基准矩阵具有一个显而易见的数学特性：即矩阵的最大特征值等于矩阵的阶数，最大特征根对应向量是货币的含金量向量。矩阵套利理论认为，在不存在两点套利机会的前提下，如果一个汇率矩阵的最大特征根偏离（大于）矩阵的阶数n，则该汇率矩阵中必然存在多点无风险套利机会。API 指标等于 0，则意味着市场存在无风险套利机会，且 API 值越大，表明无风险套利获得的收益的可能性将越高，套利收益也越大。由于 API 指标主要依赖于最大特征根的值，所以可以称这种套利机会识别方法为最大特征值识别方法。在识别矩阵套利机会的基础上，矩阵套利理论进一步给出了寻找被高估或者低估货币的方法，为套利策略的选择提供了可能。API 指标只能告诉投资者，在某个汇率矩阵中存在套利机会，并不能提示更多有助于投资者建立投资策略的信息。考虑两个独立的情形：情形一，在一个无套利矩阵中，由于某种冲击，美元对日元升（贬）值，升（贬）值幅度为 a %，相应地，日元相对于美元贬（升）值，以保证不存在两点套利机会；情形二，在一个无套利矩阵中，由于某种原因，欧元对加元升（贬）值，升（贬）值幅度也为 a %，相应的，加元相对于欧元升（贬）值。事实上，可以证明两种情形下，汇率矩阵的特征值相等，API指标也相等。
第 3 章 基于矩阵一致性原理的矩阵套利.... 14
3.2 矩阵套利理论的分析框架..... 16
3.3 基于矩阵一致性的套利机会识别 ...... 17
3.3.1 最大特征值识别方法及其适用性.......17
3.3.2 统计检验方法.........20
3.4 本章小结..... 21
第 4 章 含价差的矩阵套利识别方法 .......22
4.1 含价差矩阵套利理论基础..... 22
4.2 含价差矩阵套利理论的套利识别方法 ......... 27
4.2.1 一致性的定义法.......27
4.2.2 凸性分解法....28
4.2.3 存在性及一致性互反矩阵的求解.......30
4.3 含价差条件下无套汇基准矩阵的构建 ......... 31
4.4 本章小结..... 32
第 5 章 矩阵套利条件下汇率微观定价问题......... 33
5.1 模型设定..... 33
5.2 参数特征的数值模拟......... 35
5.3 参数特征的极限分析......... 39
5.4 本章小结..... 41
第5章 矩阵套利条件下汇率微观定价问题
上文已经讨论过，在考虑买卖价差时，矩阵套利利率可以识别套利机会并获得套利收益。而一旦投资者开始在套利实践中运用矩阵套利理论，必然会对做市商的报价产生影响，因为做市商是依据外汇市场的订单流或者说信息来做出报价决策的。在这里本文假定，相对于噪声交易者而言，知情交易者的唯一信息优势就是掌握矩阵套利的方法。按照矩阵套利理论，知情交易者能够在交易达成前准确估计出含金量向量和无套汇基准矩阵，如果市场是完全有效率的市场，那么交易后的外汇市场价格将等于或者无限趋近于无套汇基准矩阵，而做市商则应该根据市场信息，以无套汇基准矩阵作为其报价的基础。对于套利交易者来说，研究矩阵套利条件下做市商的定价行为和市场效率，有助于他们对套利窗口期做出判断。本章将首先从以下三个方面讨论矩阵套利条件下的汇率微观定价问题：第一，做市商的报价能否及时有效地反映市场信息流，并将无套汇矩阵作为其报价基础；第二，知情交易者的数量将何种程度上影响做市商的报价行为，特别地，当运用矩阵套利方法的知情交易者数量极少时，做市商能否积极地做出反应；第三，市场竞价的活跃程度将何种程度上影响做市商的报价行为，特别地，当市场竞价不活跃时，做市商能否积极地做出反应。这三个问题，实际都是外汇市场有效性的问题，本章将基于 HS 模型进行讨论。
..
结论
本文基于正互反矩阵一致性、区间数互反矩阵一致性、HS 模型等理论，建立了新的矩阵套利理论分析框架，提出了考虑价差的矩阵套利机会识别方法，并讨论了价差条件下做市商的行为机制，为套利交易者提供了一些提议。在新的分析框架构建上，本文借鉴了层次分析法中正互反矩阵一致性、区间数正互反矩阵一致性的相关理论。汇率矩阵的一系列数学性质，使得矩阵套利机会识别问题，实际上是矩阵一致性的识别问题。汇率矩阵理论原有的基于矩阵最大特征根的识别方法和识别指标 API 具有一定的局限性。在套利机会识别时，理论上，有必要确定一个合适的正临界值，只有当指标超过这个临界值时，才认为具有无风险套利机会。传统的 API 指标，还忽略了矩阵元素标度（汇率水平）和矩阵阶数（货币数量）的影响，而临界值是二者的函数。在最大特征值识别方法之外，本文还引入了一个新的统计检验方法，构造了一个学生t统计量。建立含价差的矩阵套利识别方法，是矩阵套利理论运用于实践的重要理论基础。本文认为含价差的无风险套利识别，实际上也是区间数一致性矩阵一致性的判定问题。通过凸性分解，可以将区间数互反矩阵分解为不同的正互反矩阵，将含价差的矩阵套利问题转化为不含价差的矩阵套利问题。从而实现对含价差的汇率矩阵进行套利机会识别的目的。矩阵套利理论做为一种新的套利方法，一旦进入市场，必将作为一种市场信息对做市商报价行为造成影响。本文发现，做市商的报价反应受到知情交易者数量和市场深度的影响。如果知情交易者数量较多，或者交易市场深度较大的主要货币，做市商对新信息的反应是极其有效率的。这使得，做市商的报价很可能快速接近于无套汇基准汇率矩阵。对于套利交易中而言，应该尽量避免试探性的订单策略。
参考文献（略）